GEOMETRIA

 
            3.1 - Ponto

            3.2 - Linha

            3.3 - Recta

            3.4 - Semi-recta

            3.5- Segmento de recta

            3.6 - Rectas no espaço

                     3.6.1 - Horizontais

                     3.6.2 - Verticais

                     3.6.3 - Oblíquas

            3.7 - Rectas paralelas

            3.8 - Rectas concorrentes

            3.9 - Rectas perpendiculares

            3.10 - Construção do quadrado e rectângulo com régua e esquadro

                     3.10.1 - Quadrado

                     3.10.2 - Rectângulo

            3.11 - Compasso

                     3.11.1 - Traçar uma recta perpendicular

                     3.11.2 - Traçar uma recta perpendicular à extremidade de um segmento

                     3.11.3 - Divisão do segmento de recta em duas partes iguais

                     3.11.4 - Divisão do segmento de recta em três partes iguais

                     3.10.5 - Divisão do segmento de recta em quatro partes iguais

                     3.10.6 - Divisão do segmento de recta em cinco partes iguais

                    3.10.7 - Construção de um quadrado

                    3.10.8 - Construção de um rectângulo

                    3.11.9 - Construção de um triângulo

                    3.11.10 - Circunferência

                   3.11.11 - Divisão da circunferência em três partes iguais

                   3.11.12 - Divisão da circunferência em quatro partes iguais

                   3.11.13 - Divisão da circunferência em cinco partes iguais

                   3.11.14 - Divisão da circunferência em seis partes iguais

                   3.11.15 - Divisão da circunferência em sete partes iguais

                   3.11.16 - Divisão da circunferência em oito partes iguais

 

Geometria

A geometria é o estudo das formas. Utiliza números e símbolos para descrever as propriedades dessas formas e as relações entre elas.

"arquimedes"

"pitágoras"

"van martanus capella"

 

"vitruviano"

É importante compreender a geometria, para dar resposta  a questões como:

Que forma tem? De que tamanho é? Caberá?

A geometria proporciona os conhecimentos necessários para encontrar a resposta a estas questões.

 

Para ter traços finos e uniformes utiliza-se o lápis nº3

Para afiar o lápis temos o apara lápis

Para apagar temos a borracha

 

 

 

Para traçar linhas rectas e medir, temos a régua que tem uma escala graduada em centímetros.

 

Para traçar linhas rectas e perpendiculares temos o esquadro

Para medir ângulos temos o transferidor que tem uma escala graduada em graus.

Para traçar arcos de circunferência temos o compasso que também serve para comparar e transportar medidas

 

Ponto

Ao colocar o bico do lápis ou da caneta sobre uma folha de papel, obtêm-se um ponto. Este não tem medida e pode considerar-se uma medida mínima do campo visual.

 

Linha

O movimento de um ponto origina uma linha

 
Consoante o tipo de movimento e a direcção que o ponto toma ao deslocar-se, criam-se vários tipos de linha.

Linha curva

Linha quebrada

Linha mista

 

Recta

Recta é uma linha sem princípio e sem fim que se mantêm sempre na mesma direcção e se representa por uma letra minúscula.

 

Semi-recta

É uma recta com princípio e sem fim e que se representa por uma letra maiúscula e uma letra minúscula.
 

Segmento de recta

É uma recta com princípio e fim e que se representa por duas letras maiúsculas.

 

Rectas no espaço

A posição das rectas no espaço determina a sua orientação: horizontal, vertical ou oblíqua.

Rectas paralelas

Rectas paralelas, são rectas que por mais que se prolonguem nunca se encontram, mantêm a mesma distância e nunca se cruzam.

 

Rectas concorrentes

Rectas concorrentes, são rectas que se cruzam num ponto.

 

Rectas perpendiculares

Rectas perpendiculares, são rectas concorrentes que se cruzam num ponto formando entre si ângulos de 90º ou seja ângulos rectos.

 

Construção do quadrado e rectângulo com régua e esquadro

Quadrado é um polígono fechado de quatro lados pertencente à família dos quadriláteros, formando com os seus lados ângulos de 90º (rectos).

Com uma determinada medida, traçar um segmento de recta A B.

Na extremidade A, levantar uma perpendicular com as mesmas dimensões  de AC.

Na extremidade B levantar outra perpendicular BD com a mesma medida do segmento de recta AB.

 

Ao unir os pontos CD obtemos o quadrado desenhado com régua e esquadro. Podemos

concluir que os lados do quadrado são paralelos entre si e do mesmo tamanho.

   

Rectângulo é um polígono fechado de quatro lados, iguais dois a dois e pertencente à família dos quadriláteros. Os seus lados formam entre si ângulos de 90º (rectos).

Com uma determinada medida,  traçar um segmento de recta A B.

Na extremidade A, levantar uma perpendicular AC com as dimensões mais pequenas que AB.

Na extremidade B levantar outra perpendicular BD com a mesma medida do segmento de recta AC.

Ao unir os pontos CD obtemos o rectângulo desenhado com régua e esquadro. Podemos

concluir que os lados do rectângulo são paralelos entre si e iguais dois a dois.

 

 

Compasso

O compasso é um instrumento que serve para traçar circunferências e arcos de circunferência e para comparar e transportar medidas.

De um lado tem uma ponta metálica chamada ponta seca, do outro uma mina de grafite que deve estar sempre bem afiada e à mesma altura da ponta seca.

 

Traçar uma recta perpendicular com o auxílio do compasso

 Traçar uma recta perpendicular a outra, passando por um ponto O previamente definido:

1 - Colocamos a ponta seca do compasso no ponto O e com uma abertura qualquer traçamos um arco de circunferência AB.

2 - Com o compasso aberto com uma medida superior a AO, e colocando a ponta seca em A e depois em B, traçamos dois arcos que se cruzam no ponto C.

3 - Unimos o ponto O com o ponto C com o auxílio de uma régua e obtemos a recta perpendicular.

 

Perpendicular à extremidade de um segmento

Traçar uma perpendicular à extremidade de um segmento:

1 - Na recta r e com uma abertura qualquer do compasso, Fazendo centro em A traçar um arco de circunferência que parta da recta de modo a obter o ponto B.

2 - Fazendo centro em B traçar outro arco a partir de A que cruzando com a anterior dá o ponto C.

3 - Com a mesma abertura do compasso, fazendo centro em C, traçar outro arco para obter o ponto D.

4 - Fazendo centro em D, e partindo do ponto C, traçar um arco para obter o ponto E.

5 - Ao unir com uma régua os pontos A e E, temos a perpendicular à extremidade de um segmento.

 

Divisão de um segmento de recta em duas partes iguais

Dividir um segmento de recta em duas partes iguais:

1 - Colocar a ponta seca do compasso no ponto B do segmento de recta A B e traçar um arco em cima e outro em baixo.

2 - Com a mesma abertura do compasso, mas agora com a ponta seca no ponto A do segmento de recta, traçar dois arcos que se vão cruzar com os já existentes, formando os pontos E e D.

3 - Com o auxílio de uma régua unir os pontos E e D, obtêm-se a divisão do segmento de recta em duas partes iguais.

 

Divisão de um segmento de recta em três partes iguais

Divisão de um segmento de recta em três partes iguais:

1 - Traçar um segmento de recta A B, e a partir do ponto A e com um ângulo agudo de dimensão à nossa escolha, traçar uma semi-recta.

2 - Utilizando o compasso com uma abertura qualquer, marcar em cima da semi-recta os pontos C D e E.

3 - Com a ajuda da régua e do esquadro unir o ponto E ao B.

4 - Traçar paralelas ao segmento de recta E B passando pelos pontos D e C, obtemos a divisão do segmento de recta A B em três partes iguais.

 

Divisão de um segmento de recta em quatro partes iguais

Dividir um segmento de recta em quatro partes iguais:

1 - Colocar a ponta seca do compasso no ponto B do segmento de recta A B com uma abertura maior que  a sua metade e traçar um arco em cima e outro em baixo (pontos G e J).

2 - Com a mesma abertura do compasso, mas agora com a ponta seca no ponto A do segmento de recta, traçar dois arcos que se vão cruzar com os já existentes, formando os pontos G e J.

3 - Com o auxílio de uma régua unir os pontos G e J, obtêm-se a divisão do segmento de recta em duas partes iguais.

4 - Repetindo o mesmo processo mas agora para os segmentos de recta A C e C B, obtemos a divisão do segmento de recta em quatro partes iguais.

 

Divisão de um segmento de recta em cinco partes iguais

Divisão de um segmento de recta em cinco partes iguais:

1 - Traçar um segmento de recta A B e a partir do ponto A com um ângulo agudo qualquer traçar uma semi-recta.

2 - Utilizando o compasso com uma abertura qualquer, marcar cinco pontos C, D; E, F, G, em cima da semi-recta.

3 -. Com a ajuda da régua e do esquadro unir os pontos G B.

4 - Traçar paralelas ao segmento de recta G B, passando pelos pontos F, E, D e C, obtemos a divisão do segmento de recta em cinco partes iguais.

 

Construção de um quadrado

Construção de um quadrado:

1 - Traçar um segmento de recta A B com a medida do lado pretendida.

2 - Na extremidade A construir uma perpendicular A C.

3 - Colocando o compasso em A com a mesma medida de A B, transporta-se esta medida para o segmento de recta perpendicular e encontra-se o ponto C.

4 - Mantendo sempre a mesma abertura e fazendo primeiro centro em C e depois em B, traçar dois arcos de circunferência que se cruzem e dando origem ao ponto D.

5 - Unindo C com D e B com D, obtêm-se o quadrado.

 

Construção de um rectângulo

Construção de um rectângulo:

1 - Traçar um segmento de recta A B com a medida do lado maior pretendida.

2 - Na extremidade A construir uma perpendicular A C.

3 - Colocando o compasso em A com a  medida do lado menor pretendida, transporta-se esta medida para o segmento de recta perpendicular e encontra-se o ponto C.

4 - Com  a medida do segmento de recta A B e fazendo centro em C, traçar um arco de circunferência. Com Centro em B e com a medida do segmento de recta A C traçar outro arco que se cruze com o anterior dando origem ao ponto D

5 - Unindo C com D e B com D, obtêm-se o rectângulo.

 

 

Construção de um triângulo

Triângulo é um polígono fechado com três lados formando entre si três ângulos.

Construção do triângulo:

1 - Traçar um segmento de recta A B.

2 - Com a ajuda de um compasso e com centro em A traçar um arco de circunferência com a medida do lado pretendida.

3 - Com centro em B, traçar outro arco de circunferência com a mesma medida e que se cruze com o anterior.

4 - Com a ajuda da régua unir o ponto A ao C e o ponto B ao C, para obter o triângulo.

 

Circunferência

Circunferência é uma linha curva plana fechada com todos os seus pontos à mesma distância de um ponto chamado centro.

Circulo é o espaço dentro dos limites da circunferência.

Diâmetro é um segmento de recta que divide a circunferência em duas partes iguais passando pelo ponto centro A.

Raio é um segmento de recta que vai do ponto centro A a qualquer ponto que forma a circunferência.
 

Divisão da circunferência em três partes iguais

Divisão da circunferência em três partes iguais:

1 - Traçar a circunferência  com diâmetro A D.

2 - Com o compasso e fazendo centro em D, traçar um arco de circunferência que passe pelo ponto O e toque a circunferência nos pontos C e B.

3 - Com o auxílio da régua unir os pontos A B, B C e C A, ou O A, O B e O C, obtemos a divisão da circunferência em três partes.

4 - Da reunião dos pontos ABC surge um polígono inscrito na circunferência de nome "TRIÂNGULO EQUILÁTERO".

 

Divisão da circunferência em quatro partes iguais

Divisão da circunferência em quatro partes iguais:

1 - Traçar a circunferência  com diâmetro A B.

2 - Com o auxílio do compasso e com centro em B, traçar um arco de circunferência em cima e outro em baixo com uma abertura superior a metade do diâmetro.

3 - Agora e fazendo centro em A e com a mesma abertura traçar dois arcos de circunferência um em cima e outro em baixo que cruzem os anteriores e encontrem os pontos D e C.

4 - Com o auxílio da régua unir os pontos A C, C B, B D, e D A, obtêm-se a divisão da circunferência em quatro partes iguais.

5 - Da reunião dos pontos ABCD surge um polígono inscrito na circunferência de nome "QUADRADO"

 

Divisão da circunferência em cinco partes iguais

Divisão da circunferência em cinco partes iguais:

1 - Traçar a circunferência  com diâmetro A B e assinalar o centro O.

2 - Traçar a perpendicular C D.

3 - Dividir em duas partes iguais o segmento de recta O B e encontrando o ponto E.

4 - Com o auxílio do compasso e fazendo centro em E, traça um arco de circunferência a partir do ponto C até encontrar o diâmetro e obtêm-se o ponto F.

5 - Agora com centro em C traçar um arco a partir de F até cruzar a circunferência e encontrando o ponto G.

6 - A distância entre os pontos C e G são a quinta parte da circunferência.

7 - Com a mesma abertura marcar em cima da circunferência os pontos H, I e J, que unidos dão a divisão da circunferência em cinco partes.

8 - Da reunião dos pontos CJIH eG, surge um polígono inscrito na circunferência de nome "PENTÁGONO".

 

Divisão da circunferência em seis partes iguais

Divisão da circunferência em seis partes iguais:

1 - Traçar a circunferência  com o diâmetro A B.

2 - Com o auxílio do compasso e fazendo centro em A, traçar um arco de circunferência passando pelo ponto O (centro) e encontrando a circunferência nos pontos F e E.

3 - Repetir o passo 2 mas desta vez encontrar os pontos D e C em cima da circunferência.

4 - Unindo os pontos A E, E C, C B, B D, e D F, temos a divisão da circunferência em seis partes iguais.

5 - Da reunião dos pontos AFDBC e E, surge um polígono inscrito na circunferência de nome "HEZÁGONO".

 

Divisão da circunferência em sete partes iguais

Divisão da circunferência em sete partes:

1 - Traçar uma circunferência com o diâmetro AL, assinalando o ponto O (centro).

2 - Com centro em L e uma abertura do compasso igual ao raio da circunferência (passar pelo ponto O), traçar um arco que vai encontrar a circunferência nos pontos A e P.

3 - Com o auxílio da régua traçar o segmento de recta AP que corta o diâmetro AL no ponto M.

4 - Com o compasso e fazendo centro em A traçar um arco que tem início no ponto M e termina ao encontrar a circunferência no ponto B.

5 - Com a mesma abertura e fazendo centro no ponto B marcar o ponto C em cima da circunferência.

6 - Com a mesma abertura mas agora com centro em C, traçar o ponto D e assim sucessivamente até encontrar os pontos E, F e G, obtêm-se a divisão da circunferência em sete partes iguais.

7 - Da reunião dos pontos ABCDEF e G, surge um polígono inscrito de nome "HEPTÁGONO".

 

Divisão da circunferência em oito partes iguais

Divisão da circunferência em oito partes iguais:

1 - Traçar uma circunferência com o Diâmetro AB.

2 - Dividir o segmento de recta AB em duas partes iguais e com o auxílio do compasso  em cima da circunferência marcar os pontos D e C.

3 - Com o compasso e fazendo centro em B traçar um arco de circunferência.

4 - Com centro em D e a mesma abertura traçar outro arco que vai cruzar o anterior e encontrar o ponto G.

5 - Com centro em B e depois centro em C traçar dois arcos que se cruzam e dão origem ao ponto F.

6 - Com centro em C e depois centro em A traçar dois arcos que se cruzam e dão origem ao ponto H.

7 - Com centro em A e depois em D traçar dois arcos que se cruzam e dão origem ao ponto E.

8 - Unindo com o auxílio da régua os pontos A E, E D, D G, GB, B F, F C, C H e H A obtêm-se a divisão da circunferência em oito partes.

9 - Da reunião dos pontos AEDGBFC e H, surge um polígono inscrito na circunferência de nome "OCTÓGONO" .